LA MEDIDA DEL CÍRCULO

Arquímedes mostró de nuevo su habilidad para los cálculos numéricos en estación aproximada de la razón de una circunferencia a su diámetro. Partiendo del exageno regular inscrito en la circunferencia, calcula Arquímedes los perímetros de los polígonos obtenidos duplicados sucesivamente el número de lados hasta llegar al polígono regular de 96 lados. El procedimiento interactivo que utiliza para estos polígonos está relacionado con lo que a veces se llama el algoritmo de Arquímedes. Consideremos la sucesión

son respectivamente los perímetros de los polígonos regulares circunscrito e inscrito de n lados, comenzando con el tercer término de la sucesión podemos calcular cualquier termino a partir de los dos anteriores tomando alternativamente sus medidas armónica y geométrica. Es decir,

Etcétera. Si uno lo prefiere,  puede proceder de una manera alternativa utilizando la sucesión han, A n, a 2 n, A 2 n…, donde a n y A n son respectivamente el área de los polígonos regulares inscrito de n lados. Entonces el tercer término y los sucesivos se obtienen tomando alternativa la media geométrica y armónica, de tal manera que:

Etcétera. El método de Arquímedes para calcular raíces cuadradas al terminar el perímetro del  exógeno circunscrito y para hallar medidas geométricas era muy semejante al que utilizaban los babilonios. El resultado final de los cálculos de Arquímedes sobre el círculo fue una aproximación al valor de π expresada por la desigualdad 

lo que suponía una estimación sensiblemente mejor que la de los egipcios y los babilonios. (Debe tenerse en cuenta claramente que ni Arquímedes ni ningún otro matemático griego utilizo nunca ni nuestra notación π ni la idea de un numero como razón de la circunferencia al diámetro de un circulo). Este resultado aparece en la posición 3 del tratado sobre la medida del círculo, una de las obras más importantes de Arquímedes durante la edad media. Esta obrita, probablemente incompleta tal como ha llegado a nosotros, incluye solo 3 proposiciones, de las que una se reduce a la demostración por el método de exhausción. De que el área del círculo es igual a la de un triángulo rectángulo que tenga como uno de sus catetos la circunferencia del círculo y el otro igual al radio.

Es improbable que fuera Arquímedes el descubridor de este teorema, puesto que ya se supone en la cuadratura del círculo atribuida a Dinostrato.