EL VOLUMEN DE UN SEGMENTO DE PARABOLOIDE

Parece ser que Arquimedes no pudo hallar el área de un segmento general de elipse o hipérbola. En realidad, el calculo del área de un segmento parabólico por el método de integración moderno no involucra nada peor que simples polinomios, pera las integrales que aparece en la cuadratura de un segmento de elipse o de hipérbola (lo mismo que los arcos de estas curvas o de la parábola) exigen ya la utilización de funciones trascendentales. no obstante, Arquimedes, en su importante trabajo Sobre conoide y esferoides, calcule el área de la elipse completa: " Las áreas de los elipse son entre si como los rectángulos construidos sobre sus ejes". Esto es, obviamente, lo mismo que decir 

que el área de la elipse   

es πab, o bien que el área de una elipse es igual al área de un círculo cuyo radio sea la medida geométrica de los dos semiejes de la elipse. además, Arquímedes muestra en este mismo tratado como calcular los volúmenes de los segmentos que se obtienen al cortar un elipsoide, paraboloide o hiperboloide de revolución (este de dos hojas) por un plano perpendicular al eje principal. el método que utiliza Arquímedes se parece tanto al método de integración moderno, que vamos a resumirlo solamente para un caso. sea ABC un segmento recto de paraboloide de revolución (o "conoide" parabólico) de ejes CD; consideremos el cilindro circular ABFE circunscrito al sólido. cuyo eje es también CD dividamos este eje en n partes iguales de longitud h y tracemos por los puntos de división planos paralelos a la base. Construyamos sobre el círculos en que estos planos cortan al paraboloide cilindros inscritos y circunscritos tal como indica la figura. es fácil demostrar entonces, utilizando la ejecución de la parábola y la suma de una progresión aritmética, que se verifica en las siguientes proporciones y desiguales:

Arqimedes había demostrado previamente que la diferencia entre los volúmenes de los sólidos circunscrito e inscrito podrá hacerse menor que cualquier magnitud dada de antemano y por lo tanto las desigualdades anteriores conduce a la conclusión de que el volumen de el cilindro ABFE es necesariamente igual al doble del volumen del segmento conoidal. La diferencia principal entre esta obra y los métodos modernos del calculo integral radica en la falta del concepto del límite de una función, concepto que estaba ya tan al alcance de la mano y que, sin embargo, no fue formulado nunca por los matemáticos de la antigüedad, ni siquiera por el gran Arquimedes el hombre que mas cerca estuvo de conseguirlo.