EL ÁREA DE UN SEGMENTO PARABOLICO

El libro sobre las espirales fue muy admirado pero poco leído, ya que se le considero generalmente como la más difícil de todas las obras de Arquímedes de los tratados que se refieren principalmente al método de exhausción (es decir, esencialmente al cálculo integral) el más popular fue el de la cuadratura de la parábola. Cuando escribía Arquímedes, la secciones cónicas se conocían desde hacía casi un siglo, y, sin embargo, no se había ello ningún progreso en lo que se refiere al cálculo de áreas relacionadas con ellas se necesitó el genio del más grande matemático de la antigüedad para cuadrar una sección cónica, concretamente un segmento de parábola, lo que consigue en la proposición 17 de la obra dedicada a dicha cuadratura. La demostración por el método estándar de exhausción es larga y complicada pero el hecho es que Arquímedes demuestra rigurosamente que el área K de un segmento parabólico APDQC. Es igual cuatro tercios del área de un triángulo que tenga la misma base y la misma altura.

En la siguiente siete proposiciones, que son las ultimas del libro da Arquímedes una segunda demostración diferente del mismo teorema. Demuestra en primer lugar que el área del más grande triangulo inscrito ABC, con base AC, es igual a cuatro veces la suma de los correspondientes triángulos inscrito con bases cada uno de los segmentos AB y BC. Continuando el proceso que sugiere esta relación. Parece claro que el área K del segmento parabólico ABC vendrá dada por la suma de la serie infinita 

Arquímedes no habla, desde luego, de la suma de la serie infinita, puesto que los procesos infinitos no se aceptaban en su época, sino que se muestra por una doble reductio ad absurdum que K no puede ser mayor ni menor que 

Arquímedes, dicho sea de paso, al igual que sus predecesores, no utiliza el nombre de “parábola”, sino el de “ortotoma” o “sección de un cono rectángulo”.

En el preámbulo a la cuadratura de la parábola nos encontramos con la hipótesis o el lema que suele conocer hoy como la axioma de Arquímedes: “que el exceso por el cual de dos áreas desiguales supera a la menor, añadido a sí mismo la cantidad de veces que sea necesario, puede llegar a exceder cualquier área dada” este axioma viene a excluir de manera efectiva los indivisibles o infinitésimos constantes que tanto habían sido descuido en la época de Platón. Se trata esencialmente de lo mismo que el axioma de exhausción, y Arquímedes admite francamente que:

“los geómetras anteriores también ha utilizado este lema, ya que demostraron usando precisamente este mismo lema, que los círculos están entre sí en la razón duplicada en sus diámetros y que las esferas están entre sí en la razón  triplicada de su diámetro, así como que toda pirámide es un tercio del prisma que tiene su misma base y altura igual y también demostraron que todo cono es un tercio del cilindro que tiene la misma base y la misma altura que el cono, suponiendo un cierto lema análogo al que hemos mencionado.”

Los geo metros anteriores a los que hace referencia aquí Arquímedes incluirán probablemente a Eudoxo y sus sucesores